II ФОРМУЛЫ ИЗМЕРЕНИЯ
Математический метод
Дифференциальное исчисление, открытое одновременно Лейбницем и Ньютоном, является важным математическим инструментом, который значительно расширяет возможности четырёхчастного анализа. Поскольку дифференциальное исчисление является фундаментом наших дальнейших исследований, мы кратко остановимся на нём.
Концепция дифференциального исчисления заключается в признании того факта, что, помимо измерения времени и пространства, мы можем также пользоваться отношением пространства ко времени, т. е. движением или скоростью. В наши дни высокоскоростного передвижения трудно представить, почему открытие официального выражения такого обыденно-обиходного понятия, как «скорость», подняло в своё время столько шума. Тем не менее, епископ Беркли, философ, настаивал, что «флюксии» Ньютона (отношение бесконечно малых величин расстояний к бесконечно малым промежуткам времени) есть «логический абсурд». «Бесконечно малые величины, — говорил епископ, — дурны сами по себе, отношения же этих величин — попросту абсурдны!»
Ту же систему доказательств использует человек, настаивающий на том, что он не едет со скоростью шестьдесят километров в час, потому что проехал всего лишь десять минут.
Благодаря открытию Ньютона мы можем говорить о скорости как о величине, т. е. как об аспекте, имеющем значение в неимоверно малые доли времени. И это несмотря на то, что для измерения скорости мы вынуждены взять расстояние и поделить его на то время, за которое это расстояние было преодолено.
Ньютон пошёл ещё дальше. «Мы можем не только говорить об отношении пройденного расстояния ко времени, что является скоростью, — сказал он, — мы можем говорить об отношении изменения скорости ко времени, т. е. об ускорении». Скорость выражается как dl/dt, и это означает, что d, производная (или отношение)от длины (расстояния), делится на время (dl — выражает любую бесконечно малую длину, dt — любую бесконечно малую величину времени); ускорение выражается как (d/dt) (dl/dt), производная от производной, или d2l/dt2. Позиция измеряется длиной (l), мы будем использовать эти слова («позиция» и «длина») взаимозаменяемо.
Дифференциальное исчисление позволило Ньютону решить проблему движения планет. Ещё более значительным стало использование исчисления концепции производных для решения точного обозначения ускользающих от разума понятий. Таких, как сила. Именно поэтому стало возможным появление науки о движении.
Математически необразованный читатель не должен испытывать ужаса перед формулами в наших последующих рассуждениях о дифференциальном исчислении применительно к четырём категориям познания. Не лишайте себя путешествия в этот увлекательный мир. Мы надеемся также, что читатели, знакомые с математикой, будут терпеливы даже в тех случаях, когда наши рассуждения (при помощи математических инструментов) будут достаточно далеки от их привычного применения.
Для демонстрации взаимоотношений концепций дифференциального исчисления — позиции, скорости и ускорения — приведём пример маятника.
Если мы охарактеризуем позиции маятника по отношению к продолжительности времени, то получится, что полное прохождение груза маятника от точки А до точки С и обратно станет циклом движения, где точка С — половина цикла, а первое прохождение через В — четверть цикла. Тремя четвертями станет второе прохождение через В. Чтобы не смешивать оба В, обозначим второе В как D. Наши рассуждения можно теперь представить новой диаграммой, на которой правая и левая позиции маятника представлены в виде вертикального расстояния над горизонтальной линией и под ней, где А, В, С, D — интервалы времени.
Это вертикальное расстояние, или цикл, будет максимально положительным в А, нулевым в В, максимально отрицательным в С, нулевым в D и снова максимально положительным при возврате к первоначальному значению А'. Получается кривая, проходящая через эти точки.
Отметим, что наклон кривой, или её «пологость», обозначает степень изменения позиции*.
* Если мы возьмём короткий отрезок кривой, к примеру, в том месте, где она первый раз пересекает линию, то увидим, что наклон есть отношение вертикального расстояния dl к горизонтальному расстоянию dt, и что это отношение имеет положительное значение.
На приведённой диаграмме мы сознательно увеличили размеры dl и dt. На самом деле, если эти размеры действительно большие, то кривая между ними — кривая, а не прямая линия. Если же мы сделаем значения малыми, то кривая между ними будет выглядеть как прямая линия, и наклон кривой в точке В будет равен отношению dl/dt, или производной l от t. Поскольку l — расстояние, а t — время, то dl/dt — скорость. Это и было открытием Ньютона. Оно позволяет нам иметь дело с величинами, которые не регистрируются органами чувств. (Мгновенная остановка маятника не позволит нам установить его скорость или движение. Для этого нам необходимы, по крайней мере, две остановки, две картинки его движения. В этом случае возможно установить видимую взаимосвязь.)
В точке А соотношение равно нулю, потому что позиция груза маятника изменяется очень медленно; в точке В (или 1/4 от общего) наклон пологий и направлен вниз, т. е. отрицателен, в середине, в точке С, он снова — ноль, в D (или 3/4 от общего) — склон пологий, но направлен вверх, т. е. положителен. В конце кривой — снова ноль. Те же значения сделаны на новой диаграмме, чтобы получить новую кривую, которая представляет уже значение наклона первой кривой.
Эта вторая кривая, показывающая отношение к меняющейся позиции, показывает скорость маятника. Поскольку позиция положительная, когда маятник — справа, то скорость — отрицательна (движется влево) в первой половине цикла. Это показано кривой скорости, которая расположена под линией в первой половине.
Ещё один шаг в этом направлении — изображение кривой скорости, которая станет отношением к изменению скорости. Получится ускорение.
Заметим, что кривая ускорения прямо противоположна кривой позиции. В самом начале — позиция максимально положительная, ускорение — максимально отрицательное. Можно ощутить это руками, удерживая груз маятника в позиции А (положительной) и чувствуя, как груз стремится назад (в сторону отрицательной). Эта тяга и есть ускорение. Если опустить груз в нижнюю точку цикла, в строго вертикальную позицию, тяга будет равна нулю (в точке В). Тяга становится максимально положительной (по направлению к А) в позиции С и т. д.
Все эти кривые абсолютно одинаковы по форме, но кривая скорости отстоит от кривой цикла назад на четверть, а кривая ускорения отстоит на четверть от кривой скорости, и поэтому ровно на половину — от кривой цикла. Ускорение находится «не в фазе» с циклом ровно наполовину. Скорость же «не в фазе» и с циклом, и с ускорением на одну четверть. Пик скорости приходится на точку D, а пик ускорения — на С и т. д.
Цикл движения
